[QALC] Question pour nos éminents mathématiciens

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Pataboul
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Re: [QALC] Question pour nos éminents mathématiciens

Message par Pataboul »

Youpla a écrit : mer. 30 oct. 2019 08:32 Si INFINI est un nombre infiniment grand, alors INFINI + INFINI c'est "juste" ajouter deux nombres infiniment grands, on obtient un nombre infiniment grand, on n'a pas besoin de considération plus poussée. C'est une généralisation de la somme de deux nombres positifs, on obtient un nombre positif plus grand que les deux termes.
La multiplication n'est qu'une généralisation de l'addition, on fonctionne de la même manière.
Plus grand? La somme de deux infinis serait plus grande que l'infini donc? Ca ne me semble pas cohérent. Il me semble plus juste de considérer que l'infiniment grand est égal à lui même, même multiplié ou additionné.
Youpla a écrit : mer. 30 oct. 2019 08:32J'ajoute une considération toute intuitive et non rigoureuse, non sourcée, juste avec mon instinct donc.
Pour INFINI, dans le meilleur des cas, on pourrait décider que INFINI - INFINI = 0 et INFINI/INFINI = 1.
MAIS cela impliquerait que INFINI est un nombre fixé et fini, puisqu'on aurait deux nombres strictement égaux.
INFINI est le "vrai" infini, inatteignable...
Pour moi, INFINI est un nombre mouvant. Un nombre toujours en train d'augmenter...[/spoil]
Justement, j'ai la même intuition que toi car je pars du principe que l'infini est égal à lui même et qu'il respecte a/a=1 et a-a=0 à priori. Je ne vois pas de raison évidente de créer une exception.
Mais, pour moi, c'est un nombre fixé mais pas fini, un peu comme Pi, mais pas constitué de chiffres, ou alors d'un seul: ∞ .
INFINI est le "vrai" infini, bien sûr, on s'est déjà accordés là dessus. Inatteignable? Pas en pensée, et puisque c'est d'un objet conceptuel qu'on parle, ça me semble bien suffisant.
Enfin je ne pense pas que l'infini puisse augmenter car cela impliquerai qu'il n'est pas encore infiniment grand!

J'ai l'impression que ton intuition te ramène vers une vision de l'infini pas vraiment infini. Que pour préserver certaines cohérences tu perd celle qui me semble essentielle à préserver: que l'infiniment grand est ce qu'il y a de plus grand, toujours, quoi qu'il arrive.


[mention]Swinn[/mention] Je vois pas le truc. Que m'importe qu'il soit indénombrable puisqu'il est égal à lui même. Ou alors parce qu'il est indénombrable il pourrait avoir des valeurs différentes? Pourquoi?

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Youpla
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Re: [QALC] Question pour nos éminents mathématiciens

Message par Youpla »

Oups, mal exprimée !
Je pense bien aux nombres finis (positifs) qui, additionnés, donnent un nombre plus grand, toujours.
La généralisation, c'est plus pour parler du fait qu'il n'y a pas de disjonction de cas à faire dans le cas fini et que l'on a pour ainsi dire pas de question à se poser quand on passe au cas de l'infini.

Pour moi l'infini est vraiment infini c'est pour cela que je le visualise mouvant, toujours en augmentation.
Si je ne le visualise pas en augmentation permanente c'est là qu'il devient fini !
Mais cela n'est que de la perception individuelle, de nos arrangements mentaux à accepter ce que l'on ne peut pas totalement concevoir. Pour moi, les images de murs ou de bulles ne me parlent pas et m'évoquent le fini. :nesaitpas:

Ce que je m'imagine pour l'infini, c'est une sorte de 4ème dimension, peut-être dimension de temps, souvent à l'origine des paradoxes d'ailleurs. Mais je ne veux pas ouvrir une autre boîte de Pandore ! ;)

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Re: [QALC] Question pour nos éminents mathématiciens

Message par TourneLune »

Il y a tout plein d'outils mathématiques pour manipuler l''infini, des o et des O des infinis plus grands que d'autres etc...
Mais à partir du moment où on divise par l'infini c'est faux.Sauf que 25 ans après je sais plus pourquoi :chache:
Si ce n'est qu'on peut décrire avec les outils mathématiques tout un tas de concepts largement au delà de l'intuitivement perceptible et il se trouve que les découvertes dans le domaines de la physique, même poussée, confirme les validités de ces outils là. Mais quand on a fait qu'un peut de maths, on n'a jamais appris à poser les conditions et l'environnement dans lequel on utilise ces outils, alors que c'est totalement indispensable pour dérouler un raisonnement "juste".
"Tout ce qui ne me tue pas me rend plus fort". C'était une connerie. Du moins dans son acceptation banale et contemporaine. Au quotidien, la souffrance n'endurcit pas. Elle use. Fragilise. Affaiblit. L'âme humaine n'est pas un cuir qui se tanne avec les épreuves. C'est une membrane sensible, vibrante, délicate.
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Re: [QALC] Question pour nos éminents mathématiciens

Message par W4x »

http://adulte-surdoue.fr/viewtopic.php? ... 25#p309775 8o
Je reviens quelques messages en arrière, et je ne comprends pas ce qui te repousse à ce point dans la vidéo, Fu. Peut-être Lê (l'auteur de la vidéo) s'est-il mal exprimé à un moment donné, je ne trouve pas, mais son affirmation n'est pas du tout fallacieuse, pas plus que son raisonnement. Le résultat et ses propos sont mathématiquement vrais, même s'ils heurtent l'intuition.
La série de terme général Image converge, et sa somme est Image, qui vaut 1.
Ce qui tend vers 1 c'est la suite des sommes partielles de la série, mais si l'on donne le sens à l'infinité de la somme comme étant celle suivant le cardinal des nombres naturels, alors oui cette somme infinie vaut 1.
Pour revenir au cas du nombre 0,999... ou 0,[9] ou encore Image, il s'agit d'un développement décimal dit impropre. Le terme étant bien choisi tant les trois points de suspension ne constituent rien de très rigoureux au niveau mathématique. Avec une telle notation, parfois les raisonnements de calcul classiques fonctionnement, parfois pas, notamment lorsque l'on manipule des sommes infinies qui n'ont pas le bon goût de converger*. Au sujet des développements décimaux il y a ce cours de sup' plutôt bien fait et synthétique qui définit le développement décimal d'un nombre réel par les suites de manière plus rigoureuse.

Ce qui défie l'intuition (et c'est aussi pour ça que cette vidéo est reliée au paradoxe d'Achille, ou de Zénon), c'est que lorsque l'on essaie de discrétiser indéfiniment un phénomène continu, on se heurte au fait que les infinis considérés ne sont pas du même ordre, et c'est bien pour ça que quelqu'un a fait sortir Cantor du bois assez tôt dans la discussion : l'infinité des nombres réels entre 0 et 1 est incommensurable à celle des nombres naturels (ou même rationnels). A partir de là on entre dans le domaine des nombres transfinis, ce qui est dans mon champ de connaissance mais plus de compétence. Ceci étant, les différences topologiques entre les ensembles des rationnels et des réels suffit à répondre par la négative à la question de départ ;) . On peut par exemple penser à la densité du premier dans le deuxième : tout voisinage aussi petit soit-il d'un nombre réel contient un nombre rationnel.
L'intuition en maths est parfois une fausse amie, suivant le logiciel avec lequel elle nous parle. Ici il s'agit de l'infini, à d'autres occasions dans l'histoire ce fut au sujet des nombres négatifs, irrationnels, complexes, ou encore de la mécanique relativiste. Suspendre son jugement et se placer dans le cadre d'une théorie plus large a permis d'outrepasser les freins de l'époque.

Pour ce qui est des extrapolations des opérations mathématiques de base avec l'infini, il faut garder à l'esprit que ce ne sont que des projections exemptes de toute rigueur mathématique, avec pour première raison que ∞ n'est pas un nombre (au sens réel, complexe, quaternion etc.). Donc parfois certaines "opérations" confirment l'intuition comme ∞±1=∞ ; ∞+∞=∞ ; ∞x∞=∞ ; 1/∞=0 ; 1/0=∞ ; mais pour d'autres c'est tout à fait indéterminé comme ∞-∞ ; ∞/∞ ; 0/0 etc.
Encore, dès que l'on veut donner un sens à "l'infini" sans trop de rigueur, on rentre dans des considérations très casse-gueule comme par exemple :
1. à tout entier positif on associe un nombre pair, et à tout entier négatif on associe un nombre impair ;
2. on appelle N0 le cardinal des nombres naturels (Aleph_zéro pour ne pas le nommer ;) );
alors on arrive à N0=2xN0, soit 1=2 si l'on raisonne à la légère (vu que N0 n'est pas fini). Et des comme ça on peut en fabriquer à la pelle, par exemple en donnant un petit nom (N1) au cardinal des nombres réels, qui est aussi un infini, mais "pas le même" que le précédent.
C'est pour ça que 1/∞=0 me fait tiquer dans la mesure où 1/2∞=0 aussi, donc 1=1/2...
Bon, j'avais dit que je ne parlerai pas de nombres transfinis :glasses:

*au sujet de l'écriture de sommes à la convergence douteuse, on peut citer la fameuse S=1-1+1-1+1-1+1-1+..., soit la série de terme général (-1)n, dont la somme peut ne pas exister ou valoir 0,5 avec une approche "classique"... d'où la nécessité de se munir d'outils mathématiques bien plus lourds que ne laisse à penser la simplicité de l'expression. Trois vidéos par ordre croissant de complexité à ce sujet connexe :
https://www.youtube.com/watch?v=xqTWRtNDO3U chez Micmaths (assez simplifié)
https://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww chez Numberphile (en anglais mais avec plus de rigueur)
https://www.youtube.com/watch?v=vMnkmBCvGQc chez Science4all (où le développement va assez loin. D'ailleurs il répond en fin de vidéo aux questions relatives à celle dont il est question ici)
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Re: [QALC] Question pour nos éminents mathématiciens

Message par Youpla »

Merci grandement Wax !
Je n'ai pas trouvé le courage (ni le temps, parce que du temps, il m'en faut pour me remettre à niveau !) de faire des recherches plus poussées pour sourcer et étoffer le fil de façon mathématiquement rigoureuse.
Tu l'as fait et bien fait ! :cheers:

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Swinn
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Re: [QALC] Question pour nos éminents mathématiciens

Message par Swinn »

W4x a écrit : mer. 30 oct. 2019 17:15
C'est pour ça que 1/∞=0 me fait tiquer dans la mesure où 1/2∞=0 aussi, donc 1=1/2...
Merci W4x de ton intervention qui rationalise un peu tout ça.

Il y a cette phrase dont ta tique me tique, si :
∞ x ∞ = ∞
a ∞ = ∞
2 ∞ = ∞
et donc 1/∞ = 1/2 ∞ = 0
il me semble alors qu'on ne peut pas conclure 1=1/2

Qu'en est il ?
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Joemanix
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Re: [QALC] Question pour nos éminents mathématiciens

Message par Joemanix »

Les Axiomes, les Lemmes, les Postulats, "considérons" ... j'aime pas bien ça et pourtant, même si je ne voulais pas intervenir sur ce post, voici le récapitulatif de ce que j'ai pu lire, vu par un cartésien binaire (spoil : y a pas vraiment la réponse à la question à la fin) :

"Considérons" un monde intuitif où l'infini n'a pas de fin, où l'on ne divise pas quelque chose par rien, où les démonstrations ci dessus non pas de "sens", car dans ce monde le calcul de la soustraction ou multiplication ou tout autre opérateur avec un nombre infini ne fini pas, ce monde ou l'infini ne peut tendre vers lui même (@Swinn), ce monde où l'on utilise les limites...
Dans ce monde là, la question n'a de "sens" que si l'on fixe une précision (arbitrairement 10 exposant un milliard) ou que l'on raisonne en ensemble (ex : dans l'ensemble des entiers, 0 / 1/ 2 / 3 se suivent, sont continues, etc... ils ne savent pas que l'on peut mettre une virgule après) => ce monde est triste

"Considérons" maintenant un monde pas intuitif du tout, un monde ou l'INFINI est défini !!! Un monde ou 0,[9] = 1, ce monde merveilleux ou deux droites parallèles se croisent en 1 point....
Eh bien dans ce monde peut être peut on considérer que l'INFINI tend vers lui même, et que dans ce monde, une réponse possible serait 1 - le plus petit nombre immédiatement et strictement supérieur à 0....

Puisque que Cantor est cité :

1/ il raisonne sur des ensembles, donc,

2/ il faut définir les ordinaux et cardinaux (qui répondent d'ailleurs à la question de la soustraction ou division de l'alep)

Petit rappel et TRÈS schématiquement :

Ordinaux : défini au sens littéral l'ordre => premier, deuxième...

Cardinaux : taille de l'ensemble (ex: 1/2/3/4 est noté Card(4) soit 4 éléments)

3/ Cantor, dans l'ensemble où il y a l'INFINI, démontre notamment : il n'y a plus de relation bijective entre Ordinaux et Cardinaux (voir wiki et autre site..., ou : s'il existe une bijection f d'un ensemble E dans un ensemble F alors il en existe une de F dans E : la bijection réciproque de f, qui à chaque élément de F associe son antécédent par f. On peut alors dire que ces ensembles sont en bijection, ou équipotents...).

4/ Ce qui implique => La soustraction ou la division n'ont de "sens" sans bijection (voir "la comparaison" entre nombres cité plus haut (dans le post))

5/ Dans un ensemble donné, non fini, il existe toujours entre deux nombres, un nombre plus petit tel que... (je n'ai plus la phrase exact) mais vous retrouverez facilement en lisant Cantor... Bref le début est clair.

6/ De Cantor encore : il y a une infinité d'infini .... CQFD ;)

Tout cela pour dire d'une façon binaire, alors même que l'on est dans le monde merveilleux et pas intuitif de l'INFINI, des opérations telles que la soustraction et la division, qui sont à l'oeuvre pour démontrer 0,[9] = 1, sont, semblent-ils faussent, ou plutôt pas complètement exacts sans petits arrangements (cf. Lemmes, Axiomes....) OU à considérer les ensembles.

Pour finir, selon ce que j'ai compris, cette question n'a pas de "sens" mathématique (Mathématiques : invention humaine quoiqu'on en pense, même si c'est bien pratique).

Mais, si l'on pense dans le monde intuitif, la question pose problème : Ben y a forcement un nombre qui soit le plus grand nombre possible qui soit immédiatement et strictement inférieur à 1 ???

Ok, je ne fais pas avancer le débat par cet avis bien binaire, alors même que je trouve ce monde pas intuitif génial, mais au delà des mes...limites ...

Merci pour ce post qui fait bien réfléchir et se replonger dans les méandres des classes prépas (Et qui a fait chuter grandement ma productivité au boulot à lire tout un tas de truc sur Cantor and co..), et hâte de voir la suite...

PS1: Je ne suis pas Mathématicien.

PS2: Inutile de contester vertement ce point de vue non Mathématicien (voir PS1) et qui de toutes façons dépasse mes capacités. C'est juste un résumé pour moi et peut être d'autre....

PS3: Peut on séparer les Mathématiques de la Philosophie (cf. : créations humaines mais bien pratique) pour le mot "sens" ?

PS4 : PS3 hors sujet ou pas....

PS5 : avec légèreté, pour respirer dans ce post (ô combien sérieux) : Dans la série des Chuck NORRIS (y a même un site dédié je vous assure !!!) => Chuck NORRIS a compté jusqu'à l'infini.... Deux fois... <= peux pas m’empêcher de rire :huhu:

PS6 : on ne va aller jusqu'à l'infini des PS quand même !!!!
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Re: [QALC] Question pour nos éminents mathématiciens

Message par W4x »

Swinn a écrit : mer. 30 oct. 2019 21:10
W4x a écrit : mer. 30 oct. 2019 17:15
C'est pour ça que 1/∞=0 me fait tiquer dans la mesure où 1/2∞=0 aussi, donc 1=1/2...
Merci W4x de ton intervention qui rationalise un peu tout ça.

Il y a cette phrase dont ta tique me tique, si :
∞ x ∞ = ∞
a ∞ = ∞
2 ∞ = ∞
et donc 1/∞ = 1/2 ∞ = 0
il me semble alors qu'on ne peut pas conclure 1=1/2

Qu'en est il ?
Sur ce genre de postulat bancal on peut construire un paquet d'horreurs mathématiques... en voici trois :
Image
Merci de ne pas persévérer dans cette voie! :D
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Re: [QALC] Question pour nos éminents mathématiciens

Message par Swinn »

N'étant pas mathématicien et très loin s'en faut je veux bien ne pas persévérer dans cette voie ;)
Néanmoins, je sais bien que ces calculs peuvent mener aux horreurs mathématiques que tu as cités là, mais cela me semble quand même en contradiction avec ce que tu as cité au dessus :

<<Donc parfois certaines "opérations" confirment l'intuition comme ∞±1=∞ ; ∞+∞=∞ ; ∞x∞=∞ ; 1/∞=0 ; 1/0=∞ ; mais pour d'autres c'est tout à fait indéterminé comme ∞-∞ ; ∞/∞ ; 0/0 etc.>>

Très sincèrement si je perçois bien les incohérences que tu montres avec les "horreurs" qui finissent avec 1=2, je ne parviens pas à comprendre en quoi
1/∞ = 1/2 ∞ = 0 au vu de ce qui est écrit au dessus, est si moche.
Est ce que cela dépend juste d'un choix de l'utilisation de ∞, comme si ce symbole permettait une certaine subjectivité dans l'interprétation et donc dans le calcul.

En toute honnêteté quelque chose m'échappe
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