[QALC] Question pour nos éminents mathématiciens

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[QALC] Question pour nos éminents mathématiciens

Message par Swinn » sam. 26 oct. 2019 19:11

Puisque :
0,999999999999999999999....................développé à l'infini est strictement égal à 1,

Quel est le plus grand chiffre possible qui soit immédiatement et strictement inférieur à 1 ?
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Re: [QALC] Question pour nos éminents mathématiciens

Message par Youpla » sam. 26 oct. 2019 19:15

Yenapa (je précise tout de même que je ne suis pas une éminente mathématicienne :huhu:

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Re: [QALC] Question pour nos éminents mathématiciens

Message par Swinn » sam. 26 oct. 2019 19:44

plus mathématicienne que moi pourtant ;)

il faut pourtant bien qu'il y en ait un sinon cela signifie qu'il y a une rupture dans le continu des nombres réels
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Re: [QALC] Question pour nos éminents mathématiciens

Message par nemo » sam. 26 oct. 2019 20:03

Swinn a écrit :
sam. 26 oct. 2019 19:11
0,999999999999999999999....................développé à l'infini est strictement égal à 1,
Je ne suis pas mathématicien, mais j'aurais tendance à penser que c'est justement pas strictement égal à 1. C'est un nombre qui tend vers 1 puisque l'infini, par définition n'est pas fixe (1-1/infini et c'est je pense le nombre inférieur à un 1 le plus proche de 1).

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Re: [QALC] Question pour nos éminents mathématiciens

Message par Youpla » sam. 26 oct. 2019 21:22

Swinn a écrit :
sam. 26 oct. 2019 19:11
Puisque :
0,999999999999999999999....................développé à l'infini est strictement égal à 1,

Quel est le plus grand chiffre possible qui soit immédiatement et strictement inférieur à 1 ?
Le plus grand chiffre strictement inférieur à 1 est 0 :grin:
Swinn a écrit :
sam. 26 oct. 2019 19:44
plus mathématicienne que moi pourtant ;)
Bah j'ai pas poussé bien loin les études en maths, mais surtout ça date !!!
Swinn a écrit :
sam. 26 oct. 2019 19:44
il faut pourtant bien qu'il y en ait un sinon cela signifie qu'il y a une rupture dans le continu des nombres réels
Pourquoi ? Je t'en prie, développe, quelle est la subtilité qui te chiffonne ?
(je vais sans doute devoir réviser pour te répondre :honte: mais encore faut-il que je comprenne de quoi tu parles exactement !)

Edit : @Swinn Est-ce que tu penses aux coupures de Dedekind ?

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Re: [QALC] Question pour nos éminents mathématiciens

Message par Swinn » sam. 26 oct. 2019 23:09

Je te réponds également @Youpla bien que je cite pas ton message pour une meilleur lecture d'un post un peu abstrus je le concède.
nemo a écrit :
sam. 26 oct. 2019 20:03
Swinn a écrit :
sam. 26 oct. 2019 19:11
0,999999999999999999999....................développé à l'infini est strictement égal à 1,
Je ne suis pas mathématicien, mais j'aurais tendance à penser que c'est justement pas strictement égal à 1. C'est un nombre qui tend vers 1 puisque l'infini, par définition n'est pas fixe (1-1/infini et c'est je pense le nombre inférieur à un 1 le plus proche de 1).
La démonstration que je propose est totalement contre intuitive parce que poussée à l'infini. Le raisonnement de @nemo est juste tant qu'on ne le pousse pas à l'infini.

Le truc interessant et important c'est que 0,999999999..................développé à l'infini EST égal à 1

voici la démonstration :

on considère les soustractions :

1, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.............................................avec un nombre infini de 0
- 0,9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 .............................................avec un nombre infini de 9
__________________________________________________________________________________________________________
=0,00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000.........infini



Voici le mécanisme facile à comprendre mais subtil à expliquer sur écran.

On va faire la soustraction à l'inverse de l'habitude, en commençant par les chiffres à gauche au lieu de commencer par la droite. On ne peut d'ailleurs pas commencer par la droite puisqu'il y a une infinité de nombres et qu'on ne peut donc pas en choisir un en particulier, sous peine de transformer le développement infini en développement fini.
Pour dire autrement on va inverser le sens des retenues

Pour faire une soustraction qui commence par la gauche il faut anticiper la retenue de la soustraction à droite voila comment cela se développe :
1
-10 car on anticipe la retenue du calcul immédiatement à droite 0-9
=0

On continue
1,10
-10,19
_________________________
=0,0

On continue encore
1,1010
-10,1919
_________________________
=0,00

on continue encore le calcul en allant vers la droite et en anticipant la retenue de la soustraction du rang encore à droite et on obtient ;
1,101010
-10,191919
_________________________
=0,000

Au bout de 10 opérations on obtiendra
1,10101010101010101010
-10,19191919191919191919
_________________________
=0,0000000000

AU bout d'une infinité d'opérations on aura :

1,1010101010101010...........infini

-0,1919191919191919...........infini
__________________________________________________________________________________________________________
=0,00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000.........infini

autrement dit si a - b = 0, a=b
donc 0,999999999..................développé à l'infini EST égal à 1

Mon explication est tirée de cette excellente vidéo qui vous aidera à mieux comprendre ce que j'ai écrit sur écran.https://www.youtube.com/watch?v=9i8JbISAh-U


J'en reviens donc à ma question initiale
Si le nombre qui est immédiatement en dessous et le plus proche de 1 est 0,99999999999......à l'infini, mais que ce nombre lui même 0,99999999.... est EGAL à 1, quel est donc ce nombre en dessous et le plus proche possible de 1 qui ne soit pas 0,999999999....avec une infinité de 9
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Re: [QALC] Question pour nos éminents mathématiciens

Message par Fu » sam. 26 oct. 2019 23:42

Le raisonnement me semble faux car le résultat de la soustraction est faussé. On reporte infiniment la présence du 1 après le 0,000000… mais ça ne signifie pas qu’il n’existe pas : il est juste à un rang infini après la virgule. Comme le dit nemo, c’est 1/infini, et prétendre que c’est égal à zéro est une hérésie. Ça tend vers zéro, c’est tout. :)

Et il n’y a pas de plus petit nombre possible avant un, dans l’espace des nombres réels. Si on propose un nombre, il sera toujours possible de subdiviser toujours plus finement, à l’infini. C’est continu. Le calcul des limites ne peut pas être mélangé avec du calcul « classique », ce sont deux mondes différents.

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Re: [QALC] Question pour nos éminents mathématiciens

Message par Swinn » dim. 27 oct. 2019 00:06

merci de ta réponse @Fu et de m'avoir suivi dans ce difficile développement

Je croyais aussi que le raisonnement est faussé mais il ne l'est pas

le développement du 9 se faisant à l'infini, il ne s'arrête jamais jamais jamais écrit une infinité de fois ;)

tu dis avec @nemo que 1/infini tend vers 0 ce qui signifie que l'infini tend vers l'Infini pour être le plus proche possible du 0
l'infini ne peut pas tendre vers lui même puisque cela signifierait qu'il n'est pas encore infini puisqu'il ne serait pas encore arrivé au stade où il est Infini.
ce qui est totalement illogique.

Il y a là une confusion entre un nombre infiniment grand et l'INFINI en soi qui est une autre notion mathématique.
cela peut se traduire comme ça :
1divisé par infini tend vers 0
1 divisé par INFINI = 0

c'est pour cela que au final mon raisonnement est exact
a l'infini, pas dans le mouvement vers l'infini, ce qui n'est pas la même chose, 0,999999.... = 1 en reprenant mon raisonnement au dessus.

partant de là ma question reste entière quel est le nombre réel le plus grand possible strictement inférieur à 1 et qui ne peut être 0,999999.....

[ EDIT ] @Youpla je ne connaissais pas les coupures de Dedekin mais cela ne me semble pas être tout à fait ce dont je parle. Si je comprends bien, ces coupures évoquent ce qui se passe entre 2 bornes, tandis que je parle de 2 bornes différentes dans un espace fini mais égales dans un espace infini. Si je ne me trompe pas dans le raisonnement on ne parle pas de la même chose. Je me dirigerai plutôt vers Cantor.
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Re: [QALC] Question pour nos éminents mathématiciens

Message par Youpla » dim. 27 oct. 2019 01:47

J'ai pas de problème avec l'égalité de 1 et de 0,9999... J'avais d'ailleurs découvert la preuve version équation en 1ère année de DEUG si je me rappelle bien (avec la nuance apportée que cette preuve était valable dans un espace où 9 est différent de 0 puisqu'on divise par 9 à la fin).
Bon ce sont de vieux souvenirs...

Par contre, à la question initiale, je répondrais toujours qu'il n'y a pas de nombre immédiatement en-dessous de 1 et strictement inférieur à 1.
Je ne comprends toujours pas en quoi cela entraînerait une "rupture dans le continu des nombres réels" comme tu le dis @Swinn. Où est la contradiction ?

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Re: [QALC] Question pour nos éminents mathématiciens

Message par pixelvois » dim. 27 oct. 2019 04:11

► Afficher le texte
Admettons que nous parlions de nombres donc et pas de chiffres :mrgreen: (encore faudrait-il aussi préciser que nous restions bien dans l'ensemble des nombres réels, ce qui est sous-entendu par ton 0.999... "infini" et qui comprend également les sous-ensembles des nombres entiers, des nombres rationnels -- sous forme d'un quotien : numérateur entier divisé par un dénominateur entier -- et tous les autres appellés irrationnels non représentables par un quotient comme le nombre PI, sinon en effet on peut raccourcir en "yenapa", ou AMHA "ça dépend" :P).

D'après la première définition trouvée (sur ce wiki) pour me rafraîchir la mémoire sur la définition exacte d'un nombre réel :
Un nombre réel est un nombre qui permet de représenter n'importe quele mesure d'une grandeur physique, y compris négative (inférieure à zéro, avec le signe "-").
Donc OK pour la continuité des nombre réels (en préambule).
Cependant, si on admet celle-ci, et donc l'infinité des nombres réels entre deux bornes (0 et 1 dans ce cas-ci, les deux entiers les plus proches du 0,999...) on admet également qu'on ne peut pas tous les représenter exactement et qu'ils faut donc en faire soit des approximations avec une précision donnée (comme sur les calculatrices et/ou les ordinateurs), en général en nombre de chiffres après la virgule, soit mathématiqument parlant avec un epsilon représentant la grandeur entre deux nombres réels : 0,1 ou 10 puissance -1 pour 1 chifre après la virgule, 0,01 ou 10 puissance -2, etc... En fait on coupe court avec le problème de l'infini en réduisant l'espace des nombres réels en l'échantillonnant, et donc on introduit une "rupture" dans la-dite continuité ^^
nemo a écrit :
sam. 26 oct. 2019 20:03
Swinn a écrit :
sam. 26 oct. 2019 19:11
0,999999999999999999999....................développé à l'infini est strictement égal à 1,
Je ne suis pas mathématicien, mais j'aurais tendance à penser que c'est justement pas strictement égal à 1. C'est un nombre qui tend vers 1 puisque l'infini, par définition n'est pas fixe (1-1/infini et c'est je pense le nombre inférieur à un 1 le plus proche de 1).
AMHA toujours, je rejoins nemo sur ce point et étant données les informations précédentes : 0,9999... "tend vers 1" et est approximativement égal à 1 dès lors que l'on considère n'importe quelle précision avec un epsilon que l'on admet négligeable :wasntme:

Toujours sur la même page du même wiki :
Un nombre réel est représenté par des chiffres et si besoin une virgule et des chiffres après la virgule, comme par exemple 324,823211247... avec éventuellement un signe devant comme -2,77777...
Les points de suspension indiquent qu'il y a encore d'autres chiffres après mais qu'ils ne sont pas donnés.
Ainsi, le "plus grand" nombre réel "strictement inférieur à 1" est 0,99999... avec autant de 9 que tu veux bien préciser et les points de suspension avec cette convention de notation (représentation), ou sans en donnant à la place la précision admise (dans mon cas à 10 puissance -5). Ou encore (de mon souvenir) avec la convention 0,[9] qui permet de préciser le motif se répétant à l'infini (subtilement plus précis que les points de suspension qui ne présagent pas des chiffres qui suivent).

...

Mais puisque vous semblez apprécier torturer vos méninges mathématiciennes, dans le genre (et perso', je ne chercherait pas à y répondre ni à faire quelque recherche que ce soit à ce propos mais je lirais avec plaisir la démonstration si elle existe et quelle reste d'un niveau modeste :lol:) :

Quel est le plus grand nombre rationnel (n/d avec n et d entiers) strictement inférieur à 1 ?

(paske si ça se trouve, le 0,[9]... c'est un nombre rationnel, ou à défaut éventuellement représentable avec une formule du genre 1-n/d -- toujours avec n et d entiers -- étant donnés que les nombres réels vraiment particulier comme PI -- dont on a pas trouvé de motif se répétant et qui n'est pas un rationnel -- ne sont pas légion non plus et qu'il me semble qu'il y a une astuce pour représenter en rationnel ceux qui ont un motif qui se répète à l'infini)
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Re: [QALC] Question pour nos éminents mathématiciens

Message par Pataboul » dim. 27 oct. 2019 09:35

Je pense que tu as raison, Pix, de dire qu'on ne peut désigner un nombre comme le plus petit et plus plus proche de 1. Si notre nombre n'est pas 1, alors on peut toujours trouver un nombre plus proche de 1 en additionnant une fraction de leur différence.
On peut aussi se dire que ce nombre serait égal à 1 moins le plus petit nombre. Or on n'est pas capable de désigner le "plus petit nombre", puisque les nombres sont infinis.
Ou alors ça serait 1-(1/infini)... ?

Pour 1=0.999999...
C'est contre-intuitif et pourtant démontré et admis! Je vais paraphraser Swinn:
Quand on tend vers l'infini, sur le chemin vers l'infini, bien sûr on trouve toujours un interstice entre 0,999[...]9 et 1, en fait est toujours à une infinité de nombres de l'infini.
Mais maintenant imaginez vous être au "bout" de l'infini, ou plutôt à l'infini exactement, ni avant ni après.. A ce point là, vous ne pouvez plus ajouter un neuf au bout du nombre, sinon vous n'êtes pas encore à l'infini, donc juste avant l'infini on a ajouté le dernier petit bout de nombre qui transforme 0.999... en 1. C'est un peu bizarre, mais si on considère possible de se trouver à l'infini, alors on doit admettre que ce truc existe.
Bref, la difficulté à concevoir le truc viens du fait qu'on se représente assez facilement le chemin vers l'infini, mais qu'on a beaucoup de mal à se projeter à l'infini exactement.

Je pense que le paradoxe de la flèche dont on peut toujours diviser la distance qui la sépare de la cible par 2, qui a donc une infinité de distances à parcourir et semble mathématiquement ne pas pouvoir toucher la cible, relève du même problème entre le chemin vers l'infini et ce qu'il se passe à l'infini. La flèche, en vrai, atteint toujours sa cible (ou autre chose :D ), elle atteint l'infini. L'équation est infinie mathématiquement, mais la flèche la résout mécaniquement en une fraction de seconde.
Si on calculait son avance par 9/10 plutôt que 1/2 de la distance restante, alors on verrait apparaître 0.999... et quand la flèche touche la cible, 0.999...=1

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Re: [QALC] Question pour nos éminents mathématiciens

Message par Bulle d'o » dim. 27 oct. 2019 09:48

Moi, je trouve que vous êtes toujours aussi passionnants ! J'ai trouvé une réponse aujourd'hui, je sais pourquoi je ne suis pas mathématicienne : je crois beaucoup trop! Dans le sens où ma croyance en les enseignements (très bas en math, très très bas niveau, hein) fait que j'accepte que 0,9999 infini soit strictement le plus petit après 1 et non = à 1. Donc, @Swinn je résous l'équation : dire que 0,99999 =1 est faux, faut juste y mettre plus de conviction! Tadaaaaaaaaaaaaammmm :cheers: :cheers: :cheers:

(Quoi? non, je ne suis toujours pas bornée, hein! suis comme 0,99999 = infinie pour tendre vers moi =1, j'ai toute une vie pour!)
"Je ne communique pas mes jugements, je ne suis pas un donneur de leçons, l'observation du monde ne suscite chez moi qu'un dialogue intérieur, un interminable dialogue avec moi-même."

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Re: [QALC] Question pour nos éminents mathématiciens

Message par Swinn » dim. 27 oct. 2019 10:20

Entre 0 et 1 je considère bien l'ensemble de tous les nombres possible.
Merci @pixelvois pour la notation 0,[9] que je ne connaissais pas et qui est bien pratique.

Je comprends ton raisonnement Pixel mais celui ci a une faiblesse structurelle dans la mesure où tu évoques un epsilon négligeable que tu négliges. On peut
Or moi ma question repose justement sur cet epsilon que je refuse de négliger puisque c'est justement le coeur de ma question.

(au passage l'ensemble des nombres transcendant est le plus grand ensemble de nombres qui soit, il y a beaucoup plus de pi, e , et autres nombre non définis de ce type que de nombres entiers, relatifs, rationnels...)

A propos du raisonnement que tu partages avec nemo et fu sur 1/infini tend vers 0 je réécris ici l'argument logique que j'y oppose, l'infini ne peut pas tendre vers lui même puisque tant qu'il tend vers lui même il n'est pas encore lui même.
Reprenant ton epsilon, ce qui m'intéresse c'est la "frontière" en l'infiniment grand et l'INFINI en soi. A un nombre infiniment grand tu peux toujours rajouter 1 pour avoir un infini encore plus grand, à l'INFINI si tu rajoutes 1 ça ne change rien à sa taille (voir théorie des ensembles et les travaux sur l'infini de Cantor).

C'est de la dessus que s'appuie mon questionnement.

Pour répondre à @Youpla sur ce qui me gène dans la rupture du continu.
Cantor a prouvé grâce à son fameux argument que l'infini des nombres compris entre 0 et 1 était d'un ordre supérieur à celui compris entre 1 et l'infini. C'est à dire que l'infini des nombres compris entre 0 et 1 est plus grand que l'infini des nombres compris entre 1 et l'infini. (je sais c'est très dur à suivre et à comprendre).

Donc ce qui me gène est ceci .
Considères que entre 0 et 1 il existe un glissement continu de nombres tous différents allant du plus petit 0 au plus grand 1.
Il se trouve que grâce à ma démonstration on a prouvé que 0,[9] = 1
Si il existe 2 nombres égaux, ex-aequo, dans ce glissement continu, ce glissement ne peut plus être continu, donc ça me pose question.
Ma deuxième question qui est d'ailleurs la question initiale, 0,[9] apparaîtrait comme le nombre le plus proche de 1, mais que en fait il est égale à 1, quel est le nombre que prend la place de 0,[9] et qui ne soit pas 0,[9].

[EDIT] @Pataboul c'est exactement ce dont il est question dans mon questionnement. Sinon Pix a raison dans un schéma qui se rapproche de l'infini mais tort dans un schéma infini.
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Re: [QALC] Question pour nos éminents mathématiciens

Message par nemo » dim. 27 oct. 2019 11:29

Swinn a écrit :
dim. 27 oct. 2019 10:20
Ma deuxième question qui est d'ailleurs la question initiale, 0,[9] apparaîtrait comme le nombre le plus proche de 1, mais que en fait il est égale à 1, quel est le nombre que prend la place de 0,[9] et qui ne soit pas 0,[9].
Je pense que définir ce nombre revient à définir l'infini. A mon avis, comme pi, il existe mais est indéfinissable avec précision. On ne peut en avoir qu'une approximation sous une forme 1-1/infini (ou peut être une suite...)

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Re: [QALC] Question pour nos éminents mathématiciens

Message par Youpla » dim. 27 oct. 2019 13:16

Swinn a écrit :
dim. 27 oct. 2019 10:20
Donc ce qui me gène est ceci .
Considères que entre 0 et 1 il existe un glissement continu de nombres tous différents allant du plus petit 0 au plus grand 1.
Il se trouve que grâce à ma démonstration on a prouvé que 0,[9] = 1
Si il existe 2 nombres égaux, ex-aequo, dans ce glissement continu, ce glissement ne peut plus être continu, donc ça me pose question.
Ma deuxième question qui est d'ailleurs la question initiale, 0,[9] apparaîtrait comme le nombre le plus proche de 1, mais que en fait il est égale à 1, quel est le nombre que prend la place de 0,[9] et qui ne soit pas 0,[9].
Mais il n'y a pas 2 nombres égaux, c'est le même nombre ! Avec deux écritures différentes...

Un petit bout coupé du lien wiki sur l'argument de la diagonale de Cantor que tu donnes ci-dessus :
La non-unicité de l'écriture décimale pour les décimaux non nuls (deux écritures sont possibles pour ces nombres, l'une avec toutes les décimales valant 0 sauf un nombre fini, l'autre avec toutes les décimales valant 9 sauf un nombre fini) n'est pas un écueil au raisonnement précédent car le nombre x n'est pas décimal, puisque son écriture décimale est infinie et ne comporte que les chiffres 3 et 45.

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Re: [QALC] Question pour nos éminents mathématiciens

Message par pixelvois » dim. 27 oct. 2019 14:26

Pataboul a écrit :
dim. 27 oct. 2019 09:35
Pour 1=0.999999...
C'est contre-intuitif et pourtant démontré et admis! Je vais paraphraser Swinn:
Quand on tend vers l'infini, sur le chemin vers l'infini, bien sûr on trouve toujours un interstice entre 0,999[...]9 et 1, en fait est toujours à une infinité de nombres de l'infini.
Mais maintenant imaginez vous être au "bout" de l'infini, ou plutôt à l'infini exactement, ni avant ni après.. A ce point là, vous ne pouvez plus ajouter un neuf au bout du nombre, sinon vous n'êtes pas encore à l'infini, donc juste avant l'infini on a ajouté le dernier petit bout de nombre qui transforme 0.999... en 1. C'est un peu bizarre, mais si on considère possible de se trouver à l'infini, alors on doit admettre que ce truc existe.
Je dirais que c'est là qu'on introduit un biais de raisonnement :nesaitpas:
Intuitivement, et à mon sens (je ne prend pas le temps d'aller chercher plus loin :P), l'infini se défini justement par innateignable : que ce soit dans l'infiniment grand ou l'infiniment petit, y'a toujours plus loin (sauf pour Buzz l'éclair qui va vers l'infini et au-delà comme si c'était un endroit atteignable et bien défini et pas un endroit conceptuel qui n'existe pas :lol:).

Anti démonstration par l'absurde que 0,999... != 1 (je vais prendre cette notation: != pour différent et == pour égal)

Si 0,999... == 1, alors 0,999... est fini et donc en fait pourrait se noter 0,999...9 (avec l'infinité de papier et d'encre nécessaire, puisqu'on "considère possible de se trouver à l'infini" comme préalable ainsi que proposé plus haut ^^)

Dans ce cas, on peut aussi dire que 0,000...1 == 0 [ edit: non, pas ça : ça suppose qu'on rajoute un chiffre, or on a dit qu'on considérait avoir atteint le dernier :1cache:, mais ] et ainsi de suite:
0,999...9 == 0,999...8
0,999...8 == 0,999...7
0,999...7 == 0,999...6
...
pour finir avec 0 == 1
Vous voyez le problème/paradoxe ? ;)

[ edit : et par extension tous les nombres réels seraient donc égaux :wasntme: ]
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Re: [QALC] Question pour nos éminents mathématiciens

Message par Swinn » dim. 27 oct. 2019 15:08

Non Pixel , il y a des définitions et des démonstrations partout démontrant que 0,[9] = l'infini
Ce n'est justement pas une question de ce qu'on pense intuitivement parce que justement de raisonnement va çà l'encontre de l'intuition.
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Re: [QALC] Question pour nos éminents mathématiciens

Message par Pataboul » dim. 27 oct. 2019 15:16

L'infini est inatteignable dans le sens où on ne peut pas concevoir les étapes qui nous en séparent, mais puisqu'on parle de 0,999... à l'infini, c'est bien qu'on admet qu'il existe. Se le figurer par approche est vain, il restera toujours une infinité de fractions ou de nombres entre nous et l'objectif, c'est sa nature qui le veut. Si on ne peut se figurer un chemin, alors imaginons qu'on s'y téléporte et qu'on y arrive tout de même.
D'ailleurs quand je m'imagine à l'infini, je suis incapable de voir à côté, de voir ce fameux dernier nombre voisin de 1 par exemple. C'est bizarre mais pas plus que de se trouver à l'infini.

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Re: [QALC] Question pour nos éminents mathématiciens

Message par pixelvois » dim. 27 oct. 2019 15:35

Swinn a écrit :
dim. 27 oct. 2019 15:08
il y a des définitions et des démonstrations partout démontrant que 0,[9] = l'infini
0,[9] == l'infini ou 0,[9] == 1 ?
... ou 1 == l'infini aussi alors ?

En même temps, si je continue, mon raisonnement par l'absurde, en admettant que 0,[9] == 1, j'arrive à démontrer que tous les nombres réels sont égaux, donc cela inclus aussi l'infini :devilish:
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Re: [QALC] Question pour nos éminents mathématiciens

Message par Pataboul » dim. 27 oct. 2019 15:43

C'est une coquille de la part de Swinn, il voulait parler de 0,[9]=1.

Si tu démontre par l'absurde que tous les nombres réels sont égaux, tu auras la prochaine médaille Fields, au moins.

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Re: [QALC] Question pour nos éminents mathématiciens

Message par pixelvois » dim. 27 oct. 2019 15:54

Pataboul a écrit :
dim. 27 oct. 2019 15:43
Si tu démontre par l'absurde que tous les nombres réels sont égaux, tu auras la prochaine médaille Fields, au moins.
Pour la médaille, certainement pas :D
Le but de ma démonstration par l'absurde (que j'ai faite plus haut, ne vous en déplaise) était de démontrer que 0,999... ne pouvait pas être égal à un, car sinon on arrive à montrer que 0 == 1 (ce qui est faux, AMHA) et par extension que tous les nombres réels sont égaux (voir l'édit de mon post), ce qui est évidemment faux, et prouve donc, AMHA toujours, que 0,999... n'est pas égal à 1, quoique "des définitions et des démonstrations partout" en disent (à moins éventuellement que les-dites définitions/démonstrations posent des contextes/conditions particuliers) ^^
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Re: [QALC] Question pour nos éminents mathématiciens

Message par Youpla » dim. 27 oct. 2019 16:38

pixelvois a écrit :
dim. 27 oct. 2019 14:26
Si 0,999... == 1, alors 0,999... est fini et donc en fait pourrait se noter 0,999...9
Ce début de démonstration me semble faux... Je ne comprends ni la 1ère déduction totalement sortie du chapeau pour moi :clin: , ni la 2ème déduction, je ne vois pas de lien logique. La finitude d'une écriture n'est pas la finitude d'un nombre.

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Re: [QALC] Question pour nos éminents mathématiciens

Message par nemo » dim. 27 oct. 2019 16:59

Swinn a écrit :
dim. 27 oct. 2019 00:06
Il y a là une confusion entre un nombre infiniment grand et l'INFINI en soi qui est une autre notion mathématique.
cela peut se traduire comme ça :
1divisé par infini tend vers 0
1 divisé par INFINI = 0
1 divisé par INFINI = 0 ça n'existe pas. Ça supposerait que l'infini est fixe. C'est pour ça qu'en math on utilise la notion de limite. Le égal n'est pas adapté dès qu'on parle d'infini.
D'ailleurs on ne peux pas diviser par zéro. Selon ton raisonnement 1/0 = l'infini. Or dans un raisonnement mathématique toute division par zéro invalide ledit raisonnement (sauf peut-être cas particulier que je ne connais pas).

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Re: [QALC] Question pour nos éminents mathématiciens

Message par Youpla » dim. 27 oct. 2019 17:39

J'ouvre une petite parenthèse :
Il faut prendre garde à son intuition en mathématiques (oui j'enfonce des portes ouvertes).
On pose des axiomes et on construit un espace qui va bien. Tant que ça fonctionne, on exploite tant qu'on veut/peut les résultats. C'est comme ça, par exemple, que dans certaines géométries non euclidiennes, par exemple en géométrie projective, des droites parallèles se coupent... en quel point ? Je vous le donne en mille : en l'infini ! Tada !
Bref, tant qu'on ne contredit pas les axiomes, on peut construire tout ce qu'on veut.
Même un infini atteignable...
C'est abstrait, pas du tout intuitif et pourtant (et c'est ça qui est beau), on trouve des applications formidables dans la vie réelle !
Comme ça, intuitivement (oui, oui, se méfier de son intuition hihi), je crois bien qu'il y a des mathématiciens qui ont travaillé dans des espaces où l'on considère l'infini comme un nombre, en tous cas, on définit les opérations avec lui, et puis on voit ce que ça apporte.
Parenthèse fermée.

J'écris la démonstration "équation" de 0,999... = 1 qui est peut-être plus facile à accepter qui était donnée dans la vidéo de swinn et que l'on m'avait donnée à la fac :
On pose x = 0,999... On a :
10x = 9,999... (en multipliant chaque membre par 10)
10x - 9 = 0,999... (en soustrayant 9 à chaque membre)
10x - 9 = x
9x = 9
x = 1 (en divisant chaque membre par 9)
D'où 0,999... = 1.

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Re: [QALC] Question pour nos éminents mathématiciens

Message par Swinn » dim. 27 oct. 2019 22:59

@Pataboul @nemo @Youpla
Pataboul a écrit :
dim. 27 oct. 2019 15:43
C'est une coquille de la part de Swinn, il voulait parler de 0,[9]=1.
merci Pataboul :clin:
nemo a écrit :
dim. 27 oct. 2019 16:59
Swinn a écrit :
dim. 27 oct. 2019 00:06
Il y a là une confusion entre un nombre infiniment grand et l'INFINI en soi qui est une autre notion mathématique.
cela peut se traduire comme ça :
1divisé par infini tend vers 0
1 divisé par INFINI = 0
1 divisé par INFINI = 0 ça n'existe pas. Ça supposerait que l'infini est fixe. C'est pour ça qu'en math on utilise la notion de limite. Le égal n'est pas adapté dès qu'on parle d'infini.
D'ailleurs on ne peux pas diviser par zéro. Selon ton raisonnement 1/0 = l'infini. Or dans un raisonnement mathématique toute division par zéro invalide ledit raisonnement (sauf peut-être cas particulier que je ne connais pas).

La limite signifie que l'on tend vers l'infini mais ce n'est pas parce que on y tend qu'on y est. Voir l'argument logique que j'ai développé au dessus.
L'infini en mathématique n'est pas une opinion mais une réalité mathématique indiscutable et prouvée par le mathématicien allemand Cantor en 1870.
Cette découverte et les calculs qui en ont résulté ont totalement révolutionné l'ensemble des mathématique et également à eu des répercussion sur la notion de Dieu, seul celui-ci pouvant être infini, de nombreux théologiens ont réfuté les calculs de Cantor.
Cantor a notamment développé des classes de nombres infini qu'il a appelé Aleph qui ne fonctionnent pas comme les nombres classiques que l'on manipule au quotidien, aussi grands soient ils. Et en plus les Aleph ont leur propre infini qui se construit différemment de l'infini des nombres.
Mais cela nous emmène très loin de la question initiale

Je reprends mon exemple
1 divisé par un nombre infiniment grand immensément infiniment grand, tend vers 0
1 divisé par Aleph = 0
Youpla a écrit :
dim. 27 oct. 2019 17:39
J'ouvre une petite parenthèse :
Il faut prendre garde à son intuition en mathématiques (oui j'enfonce des portes ouvertes).
On pose des axiomes et on construit un espace qui va bien. Tant que ça fonctionne, on exploite tant qu'on veut/peut les résultats. C'est comme ça, par exemple, que dans certaines géométries non euclidiennes, par exemple en géométrie projective, des droites parallèles se coupent... en quel point ? Je vous le donne en mille : en l'infini ! Tada !
Bref, tant qu'on ne contredit pas les axiomes, on peut construire tout ce qu'on veut.
Même un infini atteignable...
C'est abstrait, pas du tout intuitif et pourtant (et c'est ça qui est beau), on trouve des applications formidables dans la vie réelle !
Comme ça, intuitivement (oui, oui, se méfier de son intuition hihi), je crois bien qu'il y a des mathématiciens qui ont travaillé dans des espaces où l'on considère l'infini comme un nombre, en tous cas, on définit les opérations avec lui, et puis on voit ce que ça apporte.
Parenthèse fermée.

J'écris la démonstration "équation" de 0,999... = 1 qui est peut-être plus facile à accepter qui était donnée dans la vidéo de swinn et que l'on m'avait donnée à la fac :
On pose x = 0,999... On a :
10x = 9,999... (en multipliant chaque membre par 10)
10x - 9 = 0,999... (en soustrayant 9 à chaque membre)
10x - 9 = x
9x = 9
x = 1 (en divisant chaque membre par 9)
D'où 0,999... = 1.
Je connaissais aussi cette démonstration mais je la trouve moins "spectaculaire" que celle reposant sur la soustraction. La vidéo que j'ai proposée est très bien faite comme d'ailleurs l'ensemble des vidéos de science4all que je vous recommande pour leur clarté et les sujets abordés.
Le premier mathématicien fut Cantor, et ta défifinition de son tr
Pataboul a écrit :
dim. 27 oct. 2019 15:16
L'infini est inatteignable dans le sens où on ne peut pas concevoir les étapes qui nous en séparent, mais puisqu'on parle de 0,999... à l'infini, c'est bien qu'on admet qu'il existe. Se le figurer par approche est vain, il restera toujours une infinité de fractions ou de nombres entre nous et l'objectif, c'est sa nature qui le veut. Si on ne peut se figurer un chemin, alors imaginons qu'on s'y téléporte et qu'on y arrive tout de même.
D'ailleurs quand je m'imagine à l'infini, je suis incapable de voir à côté, de voir ce fameux dernier nombre voisin de 1 par exemple. C'est bizarre mais pas plus que de se trouver à l'infini.
Si j'ai bien compris ce que tu veux dire Pataboul tu te poses d'une autre façon la même question que moi
Quel est le nombre le plus proche de 1 et qui ne peut pas être 0[9] puisque 0[9]=1
"Nous sommes des farceurs : nous survivons à nos problèmes"
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